Когда использовать среднее геометрическое а когда арифметическое

Среднее геометрическое чисел – формула и примеры

Средние величины в статистике дают обобщающую характеристику анализируемого явления. Самая распространенная из них – среднее арифметическое. Она применяется, когда агрегатный показатель образуется с помощью суммы элементов. Например, масса нескольких яблок, суммарная выручка за каждый день продаж и т.д. Но так бывает не всегда. Иногда агрегатный показатель образуется не в результате суммирования, а в результате умножения.

Такой пример. Месячная инфляция – это изменение уровня цен одного месяца по сравнению с предыдущим. Если известны показатели инфляции за каждый месяц, то как получить годовое значение? С точки зрения статистики – это цепной индекс, поэтому правильный ответ: с помощью перемножения месячных показателей инфляции. То есть общий показатель инфляции – это не сумма, а произведение. А как теперь узнать среднюю инфляцию за месяц, если имеется годовое значение? Нет, не разделить на 12, а извлечь корень 12-й степени (степень зависит от количества множителей). В общем случае среднее геометрическое рассчитывается по формуле:

То есть корень из произведения исходных данных, где степень определяется количеством множителей. Например, среднее геометрическое двух чисел – это квадратный корень из их произведения

Среднее геометрическое трех чисел – кубический корень из произведения

и т.д.

Если каждое исходное число заменить на их среднее геометрическое, то произведение даст тот же результат.

Чтобы лучше разобраться, чем отличаются среднее арифметическое и среднее геометрическое, рассмотрим следующий рисунок. Имеется прямоугольный треугольник, вписанный в круг.

Из прямого угла опущена медиана a (на середину гипотенузы). Также из прямого угла опущена высота b, которая в точке P делит гипотенузу на две части m и n. Т.к. гипотенуза – это диаметр описанного круга, а медиана – радиус, то очевидно, что длина медианы a – это среднее арифметическое из m и n.

Рассчитаем, чему равна высота b. В силу подобия треугольников АВP и BCP справедливо равенство

Значит, высота прямоугольного треугольника – это среднее геометрическое из отрезков, на которые она разбивает гипотенузу. Такое наглядное отличие.

В MS Excel среднюю геометрическую можно найти с помощью функции СРГЕОМ.

Все очень просто: вызвали функцию, указали диапазон и готово.

На практике этот показатель используют не так часто, как среднее арифметическое, но все же встречается. Например, есть такой индекс развития человеческого потенциала, с помощью которого сравнивают уровень жизни в разных странах. Он рассчитывается, как среднее геометрическое из нескольких индексов.

Ниже видео, как найти среднее геометрическое чисел в Excel.

Среднее арифметическое и среднее геометрическое

Определение: — это число, сумма этих чисел, деленная на их количество.

Для вычисления значения средней величины необходимо добавлять величины, измеряемые в одинаковых единицах.

— любые числа

Можно ли найти среднее арифметическое трех, четырех и более чисел? Так.

3адача 1. Найти среднее арифметическое чисел

Решение:

3адача 2. Найти среднее арифметическое четырех чисел, если их сумма равна .

Решение:

Среднее арифметическое используют для вычисления средних величин.

Задача на среднее арифметическое

Во время путешествия автомобиль за первый час проехал 150 км, за второй час — 190 км, а за третью и четвертую — по 80 км. Сколько в среднем за час проезжал автомобиль?

Решение: В задаче нужно найти среднее арифметическое чисел 190, 150, 80, 80.

— в среднем за час проезжал автомобиль

Среднее геометрическое

Среднее гармоническое

Среднее квадратическое

Общее соотношение между средними

Неравенство Коши

Оценка суммы двух взаимно обратных чисел

Если то

Если то

Оценка суммы квадратов трех чисел

Методы доказательства неравенств

1. Составления разности левой и правой части (если разница положительная, то левая часть больше правой)

CFA — Применение геометрических и арифметических средних в финансовом анализе

Используя концепции описательной статистики, рассмотрим, почему среднее геометрическое хорошо подходит для составления финансовых отчетов о прошлых результатах. Также рассмотрим, почему среднее арифметическое хорошо подходит для составления отчетов в перспективном контексте.

Применение геометрических средних для отчетов о прошлых результатах.

Для отчетности на основе исторических ставок доходности геометрическое среднее более привлекательно, чем среднее арифметическое, потому что оно представляет собой темп роста или ставку доходности, которую мы должны были бы получать каждый год, чтобы соответствовать фактическим, совокупным инвестиционным показателям.

Например, в упрощенном Примере (2) средней геометрической и арифметической доходности мы приобрели акцию за €100, при этом 2 года спустя она стоила также €100, а 1 год спустя — €200.

Среднее геометрическое значение доходности здесь — 0%. Очевидно, что оно представляет собой сложный темп роста (сложную процентную ставку) за двухлетний период. В частности, конечная сумма является начальной суммой, умноженной на \( (1 + R_G)^2 \). Среднее геометрическое является отличным показателем прошлых результатов.

Пример, упомянутый выше, иллюстрирует, как среднее арифметическое может исказить нашу оценку исторических показателей. В этом примере совокупная доходность за двухлетний период однозначно равна 0%. Но, при 100% доходности за первый год и -50% за второй, среднее арифметическое составляет 25%.

Как мы уже отмечали ранее, среднее арифметическое всегда больше или равно среднему геометрическому.

Если мы хотим оценить среднюю доходность за 1 период, мы должны использовать среднее арифметическое, потому что среднее арифметическое — это среднее значение доходности за 1 период. Однако, если мы хотим оценить среднюю доходность за более чем 1 период, нам следует использовать среднюю геометрическую доходность, поскольку среднее геометрическое отражает то, как ставки доходности за период образуют совокупную доходность за несколько периодов.

Как следствие использования геометрического среднего для отчетов о доходности, полулогарифмические (англ. ‘semilogarithmic scale’), а не арифметические шкалы измерений более подходят для построения графиков прошлых результатов. В контексте отчетности об инвестиционных результатах полулогарифмический график имеет арифметическую шкалу на горизонтальной оси для времени и логарифмическую шкалу на вертикальной оси для стоимости инвестиций.

Значения на вертикальной оси отмечены в соответствии с различиями между их логарифмами.

Предположим, мы хотим представить £1, £10, £100 и £1,000 в качестве стоимости инвестиций на вертикальной оси.

Обратите внимание, что каждое последующее значение представляет 10-кратное увеличение по сравнению с предыдущим значением, и каждое из них будет равномерно отмечено на вертикальной оси, поскольку разница в их логарифмах составляет примерно 2.30. То есть:

\(\ln10 — \ln1 = \ln100 — \ln10 = \ln1,000 — \ln100 = 2.30 \)

В полулогарифмическом масштабе равные деления на вертикальной оси отражают одинаковые процентные изменения, а рост инвестиций с постоянной процентной ставкой представляет на графике прямую линию.

Кривая, изгибающаяся вверх, отражает увеличение темпов роста с течением времени.

Изгибы кривой в разных точках можно сравнивать, чтобы судить об относительных темпах роста.

Применение арифметических средних для финансовых прогнозов.

В дополнение к отчетам о прошлых результатах финансовым аналитикам необходимо прогнозировать ожидаемые премии за риск по акциям. Для этой цели лучше подходит среднее арифметическое.

Мы можем проиллюстрировать использование среднего арифметического в перспективном контексте на примере, основанном на будущих денежных потоках инвестиций. При дисконтировании будущих денежных потоков, существенная проблема связана с неопределенностью.

Предположим, что инвестор, распоряжающийся $100,000 сталкивается с равной вероятностью (50/50) 100-процентной или -50-процентной доходности, как показано на древовидной диаграмме. При 100-процентной доходности в одном периоде и -50-процентном доходе в другом, среднее геометрическое доходности составляет:

Средняя геометрическая доходность 0% дает моду или медиану дохода после двух периодов (т.е. конечный доход или доход на конец рассматриваемого периода) и, таким образом, точно предсказывает модальный или медианный конечный доход в этом примере.

Тем не менее, среднее арифметическое лучше предсказывает конечный доход. При равных шансах доходности 100% или -50% рассмотрим 4 одинаково вероятных результата в $400,000, $100,000, $100,000 и $25,000, как если бы они действительно имели место.

Средний арифметический конечный доход составил бы:

$156,250 = ($400,000 + $100,000 + $100,000 + $25,000) / 4.

Фактическая доходность составила бы 300%, 0%, 0% и -75% при средней арифметической доходности за 2 периода:

(300 + 0 + 0 -75) / 4 = 56.25%.

Это средняя арифметическая доходность предсказывает конечный доход в размере $100,000 \( \times \) 1.5625 = $156,250. Отметив, что 56.25% для двух периодов составляют 25% за период, мы должны затем дисконтировать ожидаемый конечный доход в размере $156,250 по средней арифметической ставке 25%, чтобы отразить неопределенность в денежных потоках.

• Неопределенность в денежных потоках или доходности приводит к тому, что среднее арифметическое будет больше среднего геометрического.
• Чем более неопределенны доходы, тем больше расхождение между средними арифметическими и геометрическими значениями.
• Средняя геометрическая доходность приблизительно равна средней арифметической доходности за вычетом половина дисперсии доходности.

Нулевая дисперсия или нулевая неопределенность в доходах оставляют геометрическую и арифметическую доходность примерно равными, но в условиях реальной неопределенности среднеарифметическая доходность больше, чем среднегеометрическая.

Например, для номинальной годовой доходности S&P 500 с 1926 по 2012 год в Таблице 27 приведено среднее арифметическое значение 11.82% и стандартное отклонение 20.18%.

Среднее геометрическое значение этих ставок доходности составляет 9.84%. Мы можем видеть, что среднее геометрическое приблизительно равно среднему арифметическому за вычетом половины дисперсии доходности:

\( R_G \approx 0.1182 — (1/2) (0.2018^2) = 0.0978 \) или 9.78%.

среднее геометрическое

Геометрическое среднее (geometric mean) — наиболее часто используются для того, чтобы сосчитать среднее значение темпов роста, доходности и т.п. В финансах, при помощи геометрического среднего считаются средние темпы роста прибыли, выручки, доходность фондов и т.п.

Рассчитывается как корень n-й степени произведения n элементов выборки.

Геометрическое среднее формула:

считается, что ср. геометрическое лучше подходит для описания показателя прошлой доходности, а для оценки будущих доходов больше подходит среднее арифметическое. Ср. геометрическое лучше суммирует через сложный процент доходы прошлых периодов, а ср. арифметическое дает представление о доходе за 1 период без усложнения доходностей.

среднее геометрическое ниже среднего арифмитического. Разница между ними тем больше, чем больше изменчивость наблюдений от периода к периоду.

Чтобы избежать проблем с вычисленем корная из отрицательных значений, например если в выборке есть потеря -30% портфеля за квартал, то записывать все темпы изменения стоит, прибавляя 1. Например не 23%, -30%, +35%, а — 1,23; 0,7; 1, 35.