Точка, линия, прямая, луч, отрезок, ломанная | Математика (геометрия)
— это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение
Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать
точка A, точка B, точка C
точка 1, точка 2, точка 3
Можно нарисовать на листке бумаги три точки "А" и предложить ребёнку провести линию через две точки "А". Но как понять через какие?
— это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет
Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами
линия a, линия b, линия c
- , если её начало и конец находятся в одной точке,
- , если её начало и конец не соединены
замкнутые линии
разомкнутые линии
Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб и вернулся обратно в квартиру. Какая линия получилась? Правильно, замкнутая. Ты вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.
самопересекающиеся линии
линии без самопересечений
прямые линии
ломанные линии
кривые линии
— это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны
Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны
Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой
прямая линия a
прямая линия AB
- , если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
- , если пересекаются под прямым углом (90°).
- , если не пересекаются, не имеют общей точки.
параллельные линии
пересекающиеся линии
перпендикулярные линии
— это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону
У луча света на картинке начальной точкой является солнце
солнышко
Точка разделяет прямую на две части — два луча
Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче
луч a
луч AB
- расположены на одной и той же прямой,
- начинаются в одной точке,
- направлены в одну сторону
лучи AB и AC совпадают
лучи CB и CA совпадают
— это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину. — это расстояние между его начальной и конечной точками
Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую
кривые линии, проходящие через две точки
прямая линия AB
От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками.
Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок
отрезок AB
Задача: где прямая, луч, отрезок, кривая?
— это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°
Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких
(похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.
(похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.
Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.
ломанная линия ABCDE
вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E
звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE
звено AB и звено BC являются смежными
звено BC и звено CD являются смежными
звено CD и звено DE являются смежными
— это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305
Задача: какая ломанная длиннее, а у какой больше вершин? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см. У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.
— это замкнутая ломанная линия
(помогут запомнить выражения: «пойти на все четыре стороны», «бежать в сторону дома», «с какой стороны стола сядешь?») — это звенья ломанной. — это смежные звенья ломанной.
— это вершины ломанной. — это точки концов одной стороны многоугольника.
Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.
1. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
Как известно из курса планиметрии, две прямые в плоскости могут пересекаться (имеют общую точку) или быть параллельными (не имеют общую точку).
В пространстве мы можем найти множество примеров ситуаций, когда две прямые не пересекаются, но они и не параллельны.
Рис. \(1\). Дороги на земле и на эстакадах не пересекаются.
Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Теорема «Признак скрещивающихся прямых»
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).
Доказательство
Рассмотрим прямую \(AB\), лежащую в плоскости, и прямую \(CD\), которая пересекает плоскoсть в точке \(D\), не лежащей на прямой \(AB\).
Рис. \(2\). Скрещивающиеся прямые.
1. Допустим, что прямые \(AB\) и \(CD\) всё-таки лежат в одной плоскости.
2. Значит, эта плоскость идёт через прямую \(AB\) и точку \(D\), то есть, она совпадает с плоскостью \(α\).
3. Это противоречит условиям теоремы, по которым прямая \(CD\) не находится в плоскости \(α\), а пересекает её.
Теорема доказана.
В пространстве прямые могут пересекаться, скрещиваться или быть параллельными.
Рис. \(3\). Параллельные прямые.
Рис. \(4\). Пересекающиеся прямые.
Рис. \(5\). Скрещивающиеся прямые.
Теорема
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Доказательство
Рассмотрим скрещивающиеся прямые \(AB\) и \(CD\).
Рис. \(6\). Доказательство теоремы.
1. Через точку \(D\) можно провести прямую \(DE\), параллельную \(AB\).
2. Через пересекающиеся прямые \(CD\) и \(DE\) можно провести плоскость \(α\).
3. Так как прямая \(AB\) не лежит в этой плоскости и параллельна прямой \(DE\), то она параллельна плоскости.
4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через \(CD\), будет пересекаться с \(DE\) и \(AB\), которая ей параллельна.
Теорема доказана.
Углы между прямыми
1. Если прямые параллельны, то угол между ними — 0 ° .
2. Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину меньшего из углов, образованных этими прямыми. Если все углы равны, то эти прямые перпендикулярны (образуют угол 90 ° ).
3. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.
Обрати внимание!
Провести соответственные прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым, можно через любую точку. Иногда удобно выбрать эту точку на одной из данных скрещивающихся прямых и провести через эту точку прямую, параллельную другой из скрещивающихся прямых.
Какие бывают прямые
Прямоугольник Прямоугольник Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Треугольники. Площади Треугольники. Площади Серединный перпендикуляр Серединный перпендикуляр Ромб Ромб Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Равенство фигур Равенство фигур Четыре замечательные точки треугольника Четыре замечательные точки треугольника Виды треугольников Виды треугольников Простейшие расстояния на плоскости Простейшие расстояния на плоскости Комбинации с окружностью Комбинации с окружностью Параллелограммы Параллелограммы Теорема Пифагора Теорема Пифагора Трапеция Трапеция Высота Высота Биссектриса Биссектриса Площади четырёхугольников Площади четырёхугольников Площадь круга и сектора круга Площадь круга и сектора круга Тригонометрия в геометрии Тригонометрия в геометрии Квадрат Квадрат Симметрия Симметрия Многоугольники Многоугольники Элементы планиметрии Элементы планиметрии Подобие фигур Подобие фигур Медиана Медиана Прямые и углы на плоскости Прямые и углы на плоскости Средняя линия Средняя линия Окружнoсть и круг Окружнoсть и круг
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Уравнения высших степеней Дробно-рациональные уравнения Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Уравнения с модулем Иррациональные уравнения Иррациональные уравнения Квадратные уравнения Квадратные уравнения
Числа и действия с ними
Десятичные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Координатная прямая Округление дробей Округление дробей Рациональные числа и действия с ними Рациональные числа и действия с ними Модуль Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Обыкновенные дроби и действия с ними
Реальная математика
Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на проценты Введение в текстовые задачи Введение в текстовые задачи Вероятность Вероятность Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение Текстовые задачи на движение Текстовые задачи на работу Текстовые задачи на работу Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на отношения Основы математической статистики Основы математической статистики
Формулы и выражения
Одночлены Одночлены Степени Степени Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Разложение на множители. Группировка Разложение на множители. Группировка Многочлены Многочлены Иррациональные выражения Иррациональные выражения Буквенные выражения Буквенные выражения Свойства степеней Свойства степеней Формулы сокращённого умножения Формулы сокращённого умножения
Анализ функций
Координатная плоскость Координатная плоскость Свойства функций Свойства функций Кусочная функция Кусочная функция Функция обратной пропорциональности Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции Взаимное расположение графиков линейной функции Преобразование графиков функции Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Функция квадратного корня Линейная функция Линейная функция Квадратичная функция Квадратичная функция Функции Функции
Неравенства
Рациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Простейшие неравенства Системы и совокупности неравенств Системы и совокупности неравенств
Углы при пересечении двух прямых
Если какие-нибудь две прямые пересечены третьей прямой, то пересекающая их прямая называется секущей по отношению к прямым, которые она пересекает.
При пересечении двух прямых третьей, образуется два вида углов: внешние и внутренние.
На рисунке изображены две прямые a и b, пересекаемые прямой c. Прямая c по отношению к прямым a и b является секущей. Синим цветом на рисунке обозначены внешние углы (∠1, ∠2, ∠7 и ∠8), а красным — внутренние углы (∠3, ∠4, ∠5 и ∠6).
Также при пересечении двух прямых третьей, образовавшиеся углы получают попарно следующие названия:
| Соответственные углы: ∠1 и ∠5, ∠3 и ∠7, ∠2 и ∠6, ∠4 и ∠8. |  |
| Внутренние накрест лежащие углы: ∠3 и ∠6, ∠4 и ∠5. |  |
| Внешние накрест лежащие углы: ∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7. |  |
| Внутренние односторонние углы: ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6. |  |
| Внешние односторонние углы: ∠1 и ∠7, ∠2 и ∠8. |  |
Углы при пересечении параллельных прямых
Если секущая пересекает две параллельные прямые линии, то:
- внутренние накрест лежащие углы равны;
- сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
- соответственные углы равны;
- внешние накрест лежащие углы равны;
- сумма внешних односторонних углов равна 180°.