Как делить на ноль?
Как много тут «умных» людей) Есть какие то доп данные? В обычном арифмектическом примере деление на 0 не имеет смысла (не НЕЛЬЗЯ, как говорят недалёкие, а НЕ ИМЕЕТ СМЫСЛА). В рамках лагарифма деление на 0 даёт тебе бесконечность (перевёрнутая 8). А всех «делить на 0 нельзя» шли лесом). Вы ещё скажите, что из отрицательного числа нельзя брать корень, ага) Идите учите математику
Ямина 10 месяцев назад
Здравствуйте! делить на ноль нельзя. Всегда когда делишь на ноль ответ получается ноль. Пример: 9:0=0
Пользователь 11 месяцев назад
Ноль — единственное число, на которое нельзя делить другие числа, так как «ноль» значит отсутствие любого числа, пустоту, ничего, а на ничего делить нельзя.
Ноль шансов: почему мы не делим на ноль?
С первого класса на уроках математики нам повторяют правило: на ноль делить нельзя. А почему нельзя? И что произойдет, если все-таки попробовать разделить? Давайте разбираться.
Математика
Что такое деление?
Прежде чем пытаться делить на ноль, нужно понять, что вообще такое деление и как оно работает. Возьмем для примера число восемь и поделим его на несколько чисел: 8:8 = 1, 8:4 = 2, 8:2 = 4, 8:1 = 8. Можно заметить, что чем меньше число, на которое мы делим, тем больше получается результат от деления. Логично предположить, что, если делитель уменьшить еще сильнее, до нуля, частное вырастет до бесконечности. Но так ли это на самом деле?
Математики знают лишь то, что, если делитель стремится к нулю, частное стремится к бесконечности. Но это вовсе не значит, что результат деления на ноль равен бесконечности.
Давайте введем еще одно понятие — обратные числа. Что это?
Посмотрим на те же примеры с другой стороны. При делении восьми на два получается четыре. Тот же самый результат можно получить, умножив восемь на одну вторую: 8:2 = 4 → 8 × ½ = 4. А чтобы из восьми получить единицу, можно либо разделить восемь на восемь, либо умножить восемь на одну восьмую. Получается, что деление можно заменить умножением — для этого достаточно заменить второе число в примере на «перевернутую» версию себя или на обратное число: 8:8 = 1 → 8 × ⅛ = 1.
Почему у нуля нет обратного числа?
Взаимно обратные числа обладают еще одним важным свойством: их произведение всегда равно одному: 8 × ⅛ = 1; 5 × ⅕ = 1; 2 × ½ = 1. Значит, вместо того, чтобы пытаться разделить какое-то число на ноль, достаточно умножить его же на обратное нулю число. Какое число обратно нулю? Такое, которое при умножении на ноль давало бы единицу: 0 × ? = 1. Но не существует числа, которое при умножении на ноль дало бы что-то кроме нуля!
Можно ли ввести специальное число, обратное нулю?
В математике так нередко делают — например, нельзя извлечь квадратный корень из -1. Но математики ввели специальное число i = √-1, которое открыло много возможностей работы со сложными числами. Мы могли бы договориться, что знак бесконечность ∞ означает нужное нам обратное нулю число: ∞ = 1/0. Можно ли таким числом пользоваться и совершать операции?
0 × ∞ = 1. Пока все в порядке. Тогда 1+1 = 2 можно представить как (0 × ∞) + (0 × ∞) = 2. Это выражение можно сократить до (0 + 0) × ∞ = 2. Но получившееся выражение 0 × ∞ = 2 противоречит нашим изначальным условиям!
Число, обратное нулю, не работает в привычной нам математике и нарушает все ее правила.
Позволяет ли математика делить сам ноль на ноль?
Если попытаться разделить ноль на ноль, ситуация меняется: в таком случае нужно подобрать число, которое при умножении на ноль дало бы ноль: 0 × ? = 0. Получаем проблему, противоположную предыдущей, ведь на этот раз под интересующее нас условие подходит любое число. А так как однозначный ответ выбрать невозможно, говорят, что результат деления нуля на ноль не определен .
Получается, что разделить ноль на ноль нам мешает отсутствие однозначного результата. Любое другое число разделить на ноль не получается из-за самого определения деления как действия, обратного умножению: нет таких чисел, которые при умножении на ноль давали бы не ноль. А значит, и деление на ноль в обычной математике просто не имеет смысла.
Лекция Андрея Новикова: когда нельзя, но очень хочется делить на ноль
Нельзя делить на ноль, нельзя извлекать корень из отрицательных чисел. Эти и многие другие «нельзя» математики установили сами. И они же находят варианты, когда эти ограничения не работают. Кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры математического анализа Института математики и механики КФУ Андрей Новиков рассказывает, почему для математики практически нет ограничений и что произойдет с военным крейсером, если его программа поделит число на ноль. Интернет-газета «Реальное время» продолжает публикации лекций в рамках проекта «Открытый лекторий».
От нуля до бесконечности один шаг
В мире существует много ограничений, например, нельзя делить на ноль, нельзя вычислять корень из отрицательных чисел, нельзя качаться на стульях, нельзя играть со спичками. Многие эти факты принимаются как есть. Но почему нельзя делить на ноль и что делать, когда нельзя, но очень хочется?
— Все знают, что на ноль делить нельзя, потому что непонятно, что в итоге должно получиться. Правда ли, что нельзя? Говорят, можно, если осторожно. Математика — старая наука, и она придумала множество уловок, как обойти это ограничение, — начал лекцию ученый. — Деление — это количество действий, которые совершаются до тех пор, пока от изначального числа ничего не остается. Вам придется вычитать бесконечное число раз, так что деление на ноль дает бесконечность.
Что же происходит, если делить на ноль неосторожно? На слайде ученый демонстрирует пример, когда неосторожное деление на ноль привело к неожиданным последствиям.
— Здесь изображен ракетный крейсер Yorktown ВВС США. На нем программа поделила число на ноль, из-за чего его силовая установка отключилась. Совсем. Это называется «инцидент на Йорктауне»*.
Когда возникают такие ситуации, надо знать, что делать.
— Давайте посмотрим, как в такой ситуации себя ведет математика (см. 3.17 мин.). Для этого поговорим о том, что такое числа. Числа принято изображать в виде прямой. С прямой можно сопоставить окружность. На рисунке из точки N, которая обозначает Северный полюс, проведен отрезок к точке Р. Если мы будем переводить точку P в точку Р’, то это отображение переведет окружность в прямую, — рассказал Андрей Новиков.
Такую операцию можно провести с любой точкой, кроме точки N. Если провести прямую через нее, то получится параллельная прямая, и она будет соответствовать бесконечности. Операция «один делить на число» переворачивает окружность. Поэтому если 1 поделить на ноль, то получится бесконечность, а если 1 поделить на бесконечность, то получится ноль. Это уловка, интерпретация, но именно так это работает, уточнил ученый.
Можно ли вычислить корень из отрицательного числа?
Всем известно со школы, что и корень из отрицательного числа вычислять нельзя (см. 5.15 мин).
— Правда ли это? На самом деле нет. Оно может быть любым, любым комплексным числом, — рассказывает лектор.
Это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i2 = –1.
— В первую очередь мы вводим специальное число I, которое в квадрате будет давать –1 и интерпретируем комплексные числа, как пару вещественных чисел (это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел, — прим. ред.). Одно из них отвечает за вещественную часть, другое — за мнимую. Есть еще одна интерпретация этих чисел с помощью тригонометрии. Она позволяет вычислить корень из отрицательных и любых комплексных чисел. Извлечение корня приведет к извлечению корня из модуля и уменьшению угла в два раза, — объясняет ученый.
На рисунке (см. 6.20 мин.) изображен перевод сферы, кроме одной точки в плоскость. Комплексные числа соответствуют плоскости, поэтому их можно перевести на точки сферы. Все, кроме одной, — точки бесконечности. Делить можно на любые комплексные числа и опять получать бесконечность. Отображение плоскости в сферу называется стереографической проекцией.
В презентации ученый показывает, что будет, если глобус перевести в стереографическую проекцию (см. 7.37 мин.).
Сегодня в математике возможно все
Напоследок ученый «прошелся» еще под одной «аксиоме», которая известна всем, имеющим отношение к математике.
— Те, кто сдает математику, в курсе, что извлекать логарифм из отрицательного числа тоже нельзя. Можно. Только в этом случае опять получатся комплексные числа. Здесь представлены две формулы, которые все описывают.
На слайде на 8.35 минуте ученый демонстрирует как выглядит извлечение логарифма из отрицательного числа.
— Все ли это, на чем снимаются ограничения? Нет, не все. Математика так часто развивается: сначала определяются условия для произведения действий, например, брать производные, интегрировать, а потом эти условия оспариваются и ослабляются, — объясняет Андрей Новиков.
Как еще один пример — математическое допущение, что дифференцированная функция непрерывна. Нет, оказывается, можно дифференцировать разрывные функции (см. 9.46 мин.).
— А можно еще складывать расходящиеся ряды. Это не очень просто, но если сложить числа 1, –1, 1, –1, 1, –1 и т. д., то получится ½, а если начать с –1, то получится –½. Математика может все, — говорит лектор.
В математике много смешного. Например, можно просуммировать все натуральные числа и получить –1/12.
— Суммируем положительные, получаем отрицательные так бывает. Но для этого нужно изучать такую вещь, как Дзета-функция Римана, — говорит лектор.
В математике многие арифметические действия можно производить по-разному. Можно определить, что что-то мы делаем одним способом, понять, что этим способом сделать нельзя и делать другим. На этом базируется наука, математика развивается. Математика может все, кроме того, что она определила как невозможное.
Записала Екатерина Гумарова
Справка
*21 сентября 1997 года, в результате деления на ноль в компьютеризированной управляющей системе крейсера USS Yorktown (CG-48) Военно-морского флота США произошло отключение всех машин в системе, в результате чего прекратила работу двигательная установка корабля. На Yorktown были установлены 27 компьютеров Pentium-Pro на 200 МГц, которые позволяли автоматизировать управление кораблем без участия человека.
На компьютеры крейсера установили новую программу для управления главным двигателем. Один из инженеров, занимавшийся калибровкой топливных клапанов занес в расчетную ячейку программы нулевое значение. 21 сентября программа произвела деление на этот самый ноль. Произошел сбой в софте компьютера, который по цепной реакции перекинулся на другие системы управления. В результате экипажу потребовалось более трех часов, чтобы подключить аварийную систему управления.
Можно ли делить на ноль?
Каждый ещё со школы помнит, что на ноль делить нельзя. Младшеклассникам никогда не объясняют, почему так поступать не следует. Просто предлагают принять это как данность наравне с другими запретами вроде «нельзя совать пальцы в розетки» или «не стоит задавать взрослым глупые вопросы». АиФ.ru решил разобраться, так ли были правы школьные учителя.
Статья по теме
Алгебраическое объяснение невозможности деления на ноль
С точки зрения алгебры, делить на ноль нельзя, так как это не имеет никакого смысла. Возьмём два произвольных числа, a и b, и умножим их на ноль. a × 0 равно нолю и b × 0 равно нолю. Получается, что a × 0 и b × 0 равны, ведь произведение в обоих случаях равно нолю. Таким образом, можно составить уравнение: 0 × a = 0 × b. А теперь предположим, что мы можем делить на ноль: разделим обе части уравнения на него и получим, что a = b. Получается, что если допустить операцию деления на ноль, то все числа совпадают. Но 5 не равно 6, а 10 не равно ½. Возникает неопределённость, о которой пытливым младшеклассникам учителя предпочитают не рассказывать.
Объяснение невозможности деления на ноль с точки зрения матанализа
В старших классах изучают теорию пределов, которая также говорит о невозможности деления на ноль. Это число там трактуется как «неопределённая бесконечно малая величина». Так что если мы в рамках этой теории рассмотрим уравнение 0 × X = 0, то обнаружим, что X нельзя найти потому, что для этого пришлось бы разделить ноль на ноль. А это также не имеет никакого смысла, так как и делимое, и делитель в таком случае представляют из себя неопределённые величины, следовательно, нельзя сделать вывод об их равенстве или неравенстве.
Когда на ноль делить можно?
В отличие от школьников, студентам технических вузов на ноль делить можно. Операцию, которая в алгебре является невозможной, можно произвести в других сферах математического знания. В них появляются новые дополнительные условия задачи, которые допускают это действие. Делить на ноль можно будет тем, кто прослушает курс лекций по нестандартному анализу, изучит дельта-функцию Дирака и ознакомится с расширенной комплексной плоскостью.
Смотрите также:
- Кому проще найти работу — технарю или гуманитарию? →
- 10 фактов о русской литературе. Инфографика →
- Любовь Глебова: вся правда о ЕГЭ-2009 →