ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
— гиперболический синус,
-г иперболический косинус.
Иногда рассматривается также гиперболический тангенс;
Другие обозначения: sinh x,Sh x,cosh x, Ch x,tgh x,tanh x,Th x. Графики см. на рис. 1.
Геометрическая интерпретация Г. ф. аналогична интерпретации тригонометрических функций (рис. 2). Параметрич. уравнения 
гиперболы позволяют истолковать абсциссу 
и ординату 
точки Мравносторонней гиперболы 
как гиперболнч. косинус и синус; гиперболич. тангенс-отрезок АВ. Параметр tравен удвоенной площади сектора ОАМ, где AM — дуга гиперболы. Для точки 
(при 
) параметр tотрицателен. Обратные гиперболические функции определяются формулами:
Производные и основные интегралы от Г. ф.:
Во всей плоскости комплексного переменного z Г. ф. 
и 
могут быть определены рядами:
Имеются обширные таблицы для Г. ф. Значения Г. ф. можно получить также из таблиц для е х и е -х .
Лит.:[1] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, 2 изд., пер. с нем., М., 1968; [2] Таблицы круговых и гиперболических синусов и косинусов в радиацией мере угла, М., 1958; [3] Таблицы е x и е -x , М., 1955. В. И. Битюцков.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .
- ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ
- ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД
Учебник. Гиперболические функции
Функция sh x = e x — e — x 2 называется гиперболическим синусом. Функция ch x = e x + e — x 2 н азывается гиперболическим косинусом.
Подобно тому, как тригонометрические синус и косинус являются координатами точки на координатной окружности, гиперболические синус и косинус являются координатами точки на гиперболе.
Эти функции определены и непрерывны на всей числовой оси. Гиперболический синус является нечетной функцией, возрастающей на всей числовой оси. Гиперболический косинус является четной функцией, убывающей на и возрастающей на . является минимумом
По аналогии с тригонометрическими функциями определены гиперболические тангенс и котангенс: th x = sh x ch x , cth x = ch x sh x .
Тангенс определён на всей числовой оси, котангенс – при всех x ≠ 0 ( lim x → ± 0 cth x = ± ∞ ). Обе функции непрерывны на всей области определения, нечетны и имеют горизонтальные ( и (
Приведём некоторые формулы, связанные с гиперболическими функциями.
sh x + ch x = e x
ch 2 x – sh 2 x = 1 ch 2x = ch 2 x + sh 2 x sh 2x = 2 sh x ch x sh (x + y) = sh x ch y + ch x sh y ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y
Функции, обратные гиперболическим синусу и тангенсу, определены и непрерывны на всей числовой оси. Они обозначаются соответственно arsh x и arth x. У гиперболического косинуса определены сразу две обратные функции: arch– x при x ≤ 0 и arch+ x при x ≥ 0.
В заключение приведём формулы для обратных гиперболических функций: arsh x = ln x + 1 + x 2 , x ∈ ℝ arth x = 1 2 ln 1 + x 1 — x , |x| < 1, arch — x = ln x — x 2 — 1 , x ≥ 1, arch + x = ln x + x 2 — 1 , x ≥ 1.
Гиперболические функции
Решил тут разобраться с решением кубических уравнений. Это конечно отдельная тема, однако решение там выражается через гиперболические функции, точнее, обратные гиперболические функции. Статья и калькулятор Тригонометрические функции у нас есть, и даже есть статья и калькулятор Обратные тригонометрические функции, а вот про гиперболические функции ничего еще нет. Исправляем эту досадную оплошность. Калькулятор ниже, описание гиперболических функций — под ним.
Гиперболические функции
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Рассчитать
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
Загрузить
Ссылка Сохранить Виджет
Функции sh, ch, th, sech определены и непрерывны на всей числовой оси. Функции cth, csch не определены в точке x=0.
Гиперболический синус является нечетной функцией, возрастающей на всей числовой оси и проходящей через нуль — . Гиперболический косинус является четной функцией, убывающей на промежутке от минус бесконечности до нуля, и возрастающей на промежутке от нуля до плюс бесконечности При этом — минимум этой функции.
Гиперболические функции
Гиперболи́ческие фу́нкции, функции , определяемые формулами:
sh x = e x − e − x 2 , ch x = e x + e − x 2 , \operatorname \, x = \frac >, \quad \operatorname \, x = \frac >, sh x = 2 e x − e − x , ch x = 2 e x + e − x , где e e e – основание натуральных логарифмов − ∞ < x < ∞ -\infty \lt x\lt \infty − ∞ < x < ∞ . Функции sh x \operatorname x sh x и ch x \operatorname x ch x называются соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом. Рассматриваются также гиперболический тангенс
th x = e x − e − x e x + e − x = sh x ch x , \th x=\frac >> = \frac \ x>\ x>, th x = e x + e − x e x − e − x = ch x sh x , где − ∞ < x < ∞ -\infty \lt x\lt \infty − ∞ < x < ∞ , и гиперболический котангенс
cth x = 1 th x = e x + e − x e x − e − x = ch x sh x , \operatorname x= \frac = \frac>> = \frac, cth x = th x 1 = e x − e − x e x + e − x = sh x ch x , где x ≠ 0 x \neq 0 x = 0 . Графики гиперболических функций см. на рис. 1, 2.
Гиперболические функции связаны соотношениями, аналогичными соотношениям между тригонометрическими функциями , нап ример
ch 2 x − sh 2 x = 1 , th x cth x = 1 , sh ( x ± y ) = sh x ch y ± ch x sh y , ch ( x ± y ) = ch x ch y ± sh x sh y . \begin \operatorname ^2x- \operatorname ^2x=1, \quad\operatornamex\operatornamex=1,\\ \operatorname (x±y)=\operatornamex \operatornamey±\operatorname x\operatornamey,\\ \operatorname(x±y)=\operatorname x \operatornamey± \operatorname x \operatornamey. \end ch 2 x − sh 2 x = 1 , th x cth x = 1 , sh ( x ± y ) = sh x ch y ± ch x sh y , ch ( x ± y ) = ch x ch y ± sh x sh y . Гиперболические функции можно выразить через тригонометрические функции мнимого аргумента :
sh x = – i sin ( i x ) , ch x = cos ( i x ) , \operatornamex=–i\sin (ix),\quad \operatorname x=\cos(ix), sh x = – i sin ( i x ) , ch x = cos ( i x ) , где i i i – мнимая единица.
Гиперболические функции можно получить, рассматривая равнобочную гиперболу x 2 − y 2 = 1 x^2-y^2=1 x 2 − y 2 = 1 , которая задаётся параметрически уравнениями x = ch t x=\text\,t x = ch t , y = sh t y=\text\,t y = sh t (рис. 3). Тогда длины отрезков O B OB OB и C B CB CB равны соответственно ch t \text\,t ch t и sh t \text\,t sh t , а параметр t t t равен удвоенной площади «треугольника» O A C OAC O A C .
) , x ≥ 1 , arsh x = 2 1 ln 1 − x 1 + x , ∣ x ∣ < 1 , arcth x = 2 1 ln 1 − x 1 + x , ∣ x ∣>1.
Рис. 1. Графики гиперболического синуса и гиперболического косинуса. Рис. 1. Графики гиперболического синуса и гиперболического косинуса.