Как определить а

Математика

3) Значение функции y=0 является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.

4) Функция является четной, график симметричен относительно оси Оу.

6)Парабола имеет с осями координат единственную общую точку (0;0) — начало координат.

7) Значение аргумента x=0 является нулем функции.

8) На промежутке функция убывающая, а на промежутке — возрастающая.

9) Функция принимает положительные значения на множестве , т.е. все точки параболы, кроме начала координат.

Преобразование параболы

Функция y=x 2 — частный случай квадратичной функции.

Квадратичную функцию всегда можно привести у виду , а затем построить параболу с помощью ее геометрических преобразований.

Для построения параболы необходимо:

1) Найти координаты вершины

2) Построить ось симметрии, проанализировать куда направлены ветви параболы

3) Найти точки пересечения параболы с осью Ox (нули), если они есть, решив уравнение

4) Найти точку пересечения с осью Оу, решив уравнение

Как определить a, b и c по графику параболы

Предположим, вам попался график функции \(y=ax^2+bx+c\) и нужно по этому графику определить коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью \(y\) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

Коэффициент \(a\) можно найти с помощью следующих фактов: — Если \(a>0\), то ветви параболы направленных вверх, если \(a
— Если \(a>1\), то график вытянут вверх в \(a\) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

— Аналогично с \(a
— Если \(a∈(0;1)\), то график сжат в \(a\) раз (по сравнению с «базовым» графиком с \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте.
— Аналогично \(a∈(-1;0)\), только ветви направлены вниз.

Парабола пересекает ось y в точке \(c\).

\(b\) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью \(x_в\) — абсциссы (икса) вершины параболы: \(x_в=-\frac\)
\(b=-x_в\cdot 2a\)

Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут \(f(x)\), а где \(g(x)\). По коэффициенту \(c\) видно, что \(f(x)\) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке \(4\).

Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент \(c\) у неё равен \(1\).
Ветви параболы направлены вниз – значит \(a

Получается \(g(x)=-x^2-4x+1\). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:

2 способ – находим формулу по точкам

Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений . Алгоритм прост:

1. Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
   Пример:
2. Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: \(y=ax^2+bx+c\). Получится система с тремя уравнениями. Пример: \(A(-4;5)\), \(B(-5;5)\), \(C(-6;3)\). \(\begin5=a(-4)^2+b(-4)+c\\5=a(-5)^2+b(-5)+c\\3=a(-6)^2+b(-6)+c \end\)
3. Решаем систему.
   Пример: \(\begin5=16a-4b+c\\5=25a-5b+c\\3=36a-6b+c \end\) Вычтем из второго уравнения первое: \(0=9a-b\)
   \(b=9a\) Подставим \(9a\) вместо \(b\): \(\begin5=16a-36a+c\\5=25a-45a+c\\3=36a-54a+c \end\)
   \(\begin5=-20a+c\\5=-20a+c\\3=-18a+c \end\) Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки \(A\) и \(B\) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье: \(2=-2a\)
   \(a=-1\) Найдем \(b\): \(b=-9\) Подставим в первое уравнение \(a\): \(5=20+c\)
   \(c=-15\). Получается квадратичная функция: \(y=-x^2-9x-15\).

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что \(c=4\). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: \(C(-1;8)\), \(D(1;2)\) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).

Таким образом имеем систему:

Сложим 2 уравнения:

Подставим во второе уравнение:

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

1. График \(y=-x^2\) симметричен относительно оси \(x\) графику \(y=x^2\).
2. – Если \(a>1\) график \(y=ax^2\) получается растяжением графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
   – Если \(a∈(0;1)\) график \(y=ax^2\) получается сжатием графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
3. – График \(y=a(x+d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) влево на \(d\) единиц.
   — График \(y=a(x-d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) вправо на \(d\) единиц.
4. График \(y=a(x+d)^2+e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вверх.
   График \(y=a(x+d)^2-e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вниз.

У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому \(a=1\). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы \(y=x^2\).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на \(4\).

То есть наша функция выглядит так: \(y=(x-5)^2-4\).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

Чтобы найти \(f(6)\), надо сначала узнать формулу функции \(f(x)\). Найдем её:

1. Парабола растянута на \(2\) и ветви направлены вниз, поэтому \(a=-2\). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция \(y=-2x^2\).
2. Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому \(y=-2(x-2)^2\).
3. Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому \(y=-2(x-2)^2+4\).
4. Получается \(y=-2(x^2-4x+4)+4=\)\(-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4\).
5. \(f(6)=-2\cdot 6^2+8\cdot 6-4=-72+48-4=-28\)

1. Показательная функция, её график и свойства

В практике часто используются функции y = 2 x , y = 10 x , y = 1 2 x , y = 0,1 x и т. д., т. е. функция вида y = a x , где a — заданное число, x — переменная. Такие функции называют показательными . Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Функция, заданная формулой y = a x (где a > 0, a ≠ 1 ), называется показательной функцией с основанием a .

Сформулируем основные свойства показательной функции.
1. Область определения — множество ℝ действительных чисел.
2. Область значений — множество ℝ + всех положительных действительных чисел.

3. При a > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0 < a < 1 функция убывает на множестве ℝ .

1. Чётные и нечётные функции

Функцию \(y=f(x)\), x ∈ X , называют нечётной , если для любого значения \(x\) из множества \(X\) выполняется равенство f ( − x ) = − f ( x ) .

Есть чётные функции, нечётные функции, а также ни чётные, ни нечётные.
Чётная или нечётная функция \(y=f(x)\) имеет симметричную область определения \(D(f)\).

Если же \(D(f)\) — несимметричное множество, то функция \(y=f(x)\) не может быть ни чётной, ни нечётной.

Алгоритм исследования функции \(y=f(x)\) на чётность

1. Исследовать область определения функции \(D(f)\) на симметричность. Если область определения не симметрична, то функция ни чётная, ни нечётная. Если область определения симметрична, то продолжать выполнять алгоритм.

2. Записать выражение \(f(-x)\).
3. Сопоставить выражения \(f(-x)\) и \(f(x)\):
а) при f ( − x ) = f ( x ) для каждого x ∈ D ( f ) функция является чётной;
б) при f ( − x ) = − f ( x ) для каждого x ∈ D ( f ) функция является нечётной;

в) если существует точка x ∈ D ( f ) , при которой f ( − x ) ≠ f ( x ) , то функция \(y=f(x)\) не будет чётной;

г) если существует точка x ∈ D ( f ) , при которой f ( − x ) ≠ − f ( x ) , то функция \(y=f(x)\) не будет нечётной.

Если график функции \(y=f(x)\) симметричен относительно оси ординат, то \(y=f(x)\) — чётная функция.

Если график функции \(y=f(x)\) симметричен относительно начала координат, то \(y=f(x)\) — нечётная функция.